rt-go: 2015-02-19

Geometrische Verwandtschaften

Eine Exkursion in die Höhen/Tiefen/Untiefen
geometrischer Flächen und Körper

Ein Kleinod aus der Schatztruhe des nutzlosen Wissens
Schnell weg!

Einleitung

Die Geometrie faszinierte schon die Gelehrten der antiken Völker und erschien ihnen als Inbegriff einer göttlichen Ordnung. Von ihrer Faszination hat sie sicher nichts eingebüßt. Aber gilt dies auch für die Ordnung?

Wenn es im Geometrieunterricht der Schulen um Flächen geht, z. B. um Vierecke, so wird deren Ordnung und Verwandtschaft meistens noch ausführlich behandelt. Sobald aber deren Flächeninhalt berechnet wird, trübt sich schnell der Blick für Verwandtschaften.

Aus methodischer Sicht erscheint es selbstverständlich, mit der quadratischen Maßeinheitsfläche zunächst einmal Quadrate und Rechtecke, also die geometrischen Spezialfälle, aus zu messen. Die allgemeineren Figuren Parallelogramm und Trapez folgen erst später und werden auf Rechtecke reduziert. Diese Vorgehensweise erscheint so unumgänglich notwendig und vernünftig, wie die Idee, etwa mit allgemeinen Trapezen zu beginnen, unsinnig erscheint.

Die unvermeidliche Folge ist aber, dass der Schüler schön nacheinander verschiedene Formeln für Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, gleichschenklige Trapeze und schließlich auch allgemeine Trapeze kennen lernt und künftig auch anwendet.

Dies wäre weiter nicht von Bedeutung, wenn damit der Ausflug in die Geometrie nicht oftmals leider schon abgeschlossen wäre, jedenfalls so weit es die Trapeze und ihre Verwandtschaft betrifft. Der Schüler kennt ja alle Formeln und sollte sie auch anwenden könne. Und damit hat sich dann die Sache.

 

Flächenberechnung

Vielleicht erinnert sich ein Schüler, wenn er darauf angesprochen wird, noch dunkel daran, dass ein Quadrat auch ein Trapez ist, aber bewusst ist es ihm wohl kaum. Und die Fläche eines Quadrates oder Rechtecks wird er wohl nie mit der allgemeinen Formel für Trapeze berechnen.

Dreiecke werden dann in der Regel als halbe Parallelogramme oder Rechtecke mit der bekannten Formel: A = g * h / 2 berechnet.

Leider geht dabei eine verwandtschaftliche Beziehung völlig unter, nämlich die zwischen Trapez und Dreieck.

Würde bei der Behandlung der Dreiecke vom Trapez ausgegangen, so ergäbe sich fast zwangsläufig, dass ein Dreieck auch als Extremfall eines Trapezes angesehen werden kann, bei dem eine Parallele zur Länge Null geschrumpft ist. Und umgekehrt ließe sich dann das Trapez auch als flächiger “gerader Stumpf” eines Dreiecks betrachten; und das allgemeine Viereck als “schräger Stumpf”.

Die Betonung dieser verwandtschaftlichen Beziehungen erscheint vielleicht übertrieben, ist aber durchaus nützlich, wie sich noch zeigen wird.

Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass es die wunderbare Ordnung der Geometrie gestattet, die Fläche aller Trapeze und seiner “Spezialfälle” inklusive der Dreiecke mit der allgemeinen Formel:

A = m * h

zu berechnen; wobei m für den Durchschnitt der Parallelen, also ( a + c ) / 2 steht.

 

Volumenberechnung

Wenn es bei der Flächenberechnung so “ordentlich” zu geht, sollte es bei der Körper- bzw. Volumen-Berechnung vielleicht ähnlich “ordentlich” zu gehen.

Betrachtet man die Formeln zur Berechnung der Volumina diverser Körper wie Zylinder, Kegel, Kugel, Prismen, Pyramiden und dergleichen, so ist davon zunächst nicht viel erkennbar. Dies ist auch nicht weiter verwunderlich, denn alle speziellen Formeln sind ja, wie bei den Flächenformeln, auf eine möglichst kurze Form gebracht und verdecken damit ihre möglichen verwandtschaftlichen Beziehungen.

Um sie aufzudecken, gibt es zwei Ansätze, die sich gegenseitig ergänzen:

Erstens lassen die verwandtschaftlichen Beziehungen bei den Trapezen ein Prinzip erkennen, das sich vielleicht auf Körper übertragen lässt, und zweitens lassen sich die speziellen Volumen-Formeln vielleicht auf gemeinsame universelle Formen erweitern, die das Prinzip bestätigen.

 

Zum Prinzip

Die Fläche des Trapezes (und aller Spezialfälle) ergibt sich aus der Höhe und der Mittellinie; und diese ist der Mittelwert zweier Strecken.

Überträgt man dieses Prinzip auf Körper, so bietet sich u. a. folgende mögliche Sichtweise: Das Volumen eines Körpers mit zwei parallelen “Grund”-Flächen wird durch die Körperhöhe und “ein Durchschnittswert von Flächen” gebildet.

“Klopft” man die diversen Formeln daraufhin ab, so zeigt sich, dass es der Durchschnittswert von drei Flächen sein sollte.

Dieses zunächst vielleicht befremdlich erscheinende Faktum, zeigt sich am deutlichsten bei der Formel für Kegelstümpfe:

In dieser üblichen Schreibweise ist der Sachverhalt jedoch noch etwas verschleiert. Deshalb hier eine etwas “umständlichere” Form, die aber das Prinzip besser aufzeigt:

Sieht man von den “ausgeklammerten” Faktoren ab, so wird die erste Fläche durch r1*r1, die letzte durch r2*r2 und die mittlere durch r1*r2 gebildet.

Diese stellt damit eine “Promenadenmischung” aus einer Größe der ersten Fläche und einer Größe der zweiten Fläche dar.

Diese “mittlere” Fläche erscheint einerseits unmotiviert und unlogisch (wo sollte sie denn liegen?); andererseits erscheint sie durchaus akzeptabel; denn wenn bei einer Fläche zwei Strecken von entscheidender Bedeutung sind, warum sollen es dann bei einem Volumen nicht drei Flächen sein?!

Bei der Trapezformel zeigte sich, dass sie auch auf den Extremfall Dreieck und auf den Sonderfall Rechteck anwendbar ist. Wie sieht entsprechendes bei den Körpern aus?

 

Verallgemeinerung

Dem Dreieck entspricht bei den Körpern der Extremfall Kegel und dem Rechteck der Sonderfall Zylinder; auf beide ist die allgemeine Formel problemlos anwendbar.

Dabei zeigt sich:

Beim Rechteck (Parallelogramm) wird der Durchschnitt zweier gleicher Strecken gebildet, beim Zylinder (schiefen Zylinder) ist es der Durchschnitt dreier gleicher Flächen.

Beim Dreieck ist eine Seite zur Länge Null geschrumpft, beim Kegel schrumpfen zwei Flächen.

So weit, so gut; aber wie lässt sich das gefundene Prinzip auf andere Körper übertragen, Zylinder, Kegelstumpf und Kegel stellen ja nur Sonderfälle dar?

Betrachten wir zunächst einen weiteren Sonderfall und prüfen, ob sich das Prinzip bewährt.

Für die quadratische Pyramide gilt:

für die quadratische Säule gilt:

und für den quadratischen Pyramidenstumpf gilt:

? ? ?

Ach ja, da steht es ja! (Oder haben Sie gar nicht nachsehen müssen? ;-)

wobei AG die Grundfläche und AD die Deckfläche sind.

Auch hier taucht eine dritte Fläche auf, die allerdings noch etwas undeutlich erscheint.

Ersetzen wir deshalb die Flächen durch die bestimmenden Strecken:

und vereinfachen:

und weiter:

und schließlich:

Die zunächst unanschauliche dritte Fläche entpuppt sich als “Mischling” der bekannten Art.

 

Der Optimist freut sich,
der Pessimist sieht das Verhängnis nahen ;-)

Wie sieht die Sache aus, wenn nicht ein Kreis oder Quadrat die Grundfläche bzw. Deckfläche bildet, sondern z. B. ein Rechteck oder Trapez oder gar ein Dreieck?

Zunächst ergibt sich das Problem, dass diese Flächen nicht durch ein Maß, sondern durch zwei bestimmt werden; welches sollte dann wohl den “Mischling” bestimmen?

Die Lösung ist zwar etwas langatmig, aber trotzdem einfach:

Da unsere Formel die allgemeine Form darstellen soll, die alle Sonderfälle beinhaltet, ist ein Faktum beachtenswert, das bisher nicht erwähnt wurde: Kreise und Quadrate sind immer ähnlich, Rechtecke u. a. Flächen aber nicht generell.

Da die gesuchte Formel jedoch gleichermaßen für rechteckige Pyramidenstümpfe, rechteckige Pyramiden und rechteckige Säulen (Quader) gelten soll, gilt auch hier, dass Grund- und Deckfläche einander ähnlich sind.

Für ähnliche Rechtecke gilt aber auch, dass das Produkt komplementärer Seiten gleich ist. Daher bereitet es kein Problem, die erforderliche “Promenadenmischung” zu konstruieren; sie wird ganz einfach aus zwei komplementären Seiten gebildet. Daraus folgt, dass zwei gleichwertige Alternativen zur Auswahl stehen:

oder:

wobei a und b die Seiten der Grundfläche und c und d die entsprechenden Seiten der Deckfläche sind.

Es bleibt die Frage, ob diese Formeln auch gültig sind.

sieht ausführlich dargestellt so aus:

oder so:

Aus a*d = b*c (wegen der Ähnlichkeit) folgt:

oder:

und:

oder:

Das Prinzip ist folglich (bisher) durchgängig anwendbar.

Da Rechtecke und Dreiecke nur Sonderfälle des Trapezes darstellen, lässt sich die rechteckige Grundfläche a*b durch mg*hg und die Deckfläche c*d durch md*hd ersetzen.

Daraus folgt die allgemeine Formel:

 oder:

die unabhängig von der Form der Grund- und Deckfläche für alle Prismen, Pyramiden und Stümpfe gilt, sofern die relevanten Flächen parallel und ähnlich und Dreiecke oder Trapeze sind. Da andere Flächen auf diese reduzierbar sind, gelten die Formeln entsprechend auch für diese.

Betrachten wir einen weiteren Fall:

Da der Übergang vom Quadrat zum Rechteck keine Probleme bereitete, wollen wir ihn auch vom Kreis zur Ellipse vollziehen; schließlich ist der Kreis ja nur eine spezielle Ellipse:

 oder:

Da auch bei elliptischen Kegeln, Säulen und Stümpfen die Ähnlichkeit gegeben ist, können wir uns hier die Darstellung der Ableitung ersparen.

 

Fazit

Die geometrischen Verwandtschaften ermöglichen es, für die Volumenberechnung von Körpern nur zwei einheitliche Formeln zu verwenden. Dabei spielt die Form der Körper keine Rolle, sofern Grund- und Deckfläche parallel und ähnlich sind. Lediglich eckig oder rund muss unterschieden werden.


 

 

Und was ist mit der Kugel?

Nun, die Formeln sind bekannt:

Aber jeder Versuch, sie so um zu stellen, dass sie in das vorherige Schema passen, ist zum Scheitern verurteilt. Und der Vergleich zwischen Kegel und Halbkugel macht deutlich, warum das so sein muss und nicht anders sein kann. Die Geometrie hat eben ihre Ordnung. ;-)

Bei diesem speziellen Kegel, bei dem h = r ist, kann man die Volumenformel:

durch:

ersetzen und erhält daraus:

Für die Halbkugel gilt hingegen:

Die Halbkugel hat also, wegen der Wölbung, das doppelte Volumen des entsprechenden Kegels und übrigens zwei Drittel des Volumens des entsprechenden Zylinders.

Auch das ist eine sehr schöne Ordnung, hat aber mit der zuvor untersuchten Verwandtschaft leider nichts zu tun.

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